Algebra je odvetvie matematiky, ktorá využíva číslice, písmená a znaky sa vzťahujú k rôznym aritmetických operácií vykonávaných. Dnes sa algebra ako matematický zdroj používa vo vzťahoch, štruktúrach a kvantite. Najbežnejšia je elementárna algebra, ktorá používa aritmetické operácie ako sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, pretože na rozdiel od aritmetiky používa namiesto čísel najbežnejšie symboly ako xy.
Čo je to algebra
Obsah
Je to odvetvie, ktoré patrí k matematike a umožňuje rozvíjať a riešiť aritmetické úlohy pomocou písmen, symbolov a čísel, ktoré zase symbolizujú predmety, predmety alebo skupiny prvkov. To umožňuje formulovať operácie, ktoré obsahujú neznáme čísla, nazývané neznáme, a umožňujú vývoj rovníc.
Prostredníctvom algebry bol človek schopný počítať abstraktne a všeobecne, ale aj pokročilejšie, prostredníctvom zložitejších výpočtov vyvinutých matematickými a fyzickými intelektuálmi, ako sú Sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707- 1783), Pierre de Fermat (1607-1665) alebo Carl Friedrich Gauss (1777-1855), vďaka ktorého príspevkom máme definíciu algebry, ako ju poznáme dnes.
Podľa histórie algebry bol však Diophantus Alexandrijský (dátum narodenia a úmrtia neznámy, o ktorom sa predpokladá, že žil medzi 3. a 4. storočím), v skutočnosti otcom tejto vetvy, pretože vydal dielo s názvom Arithmetica, ktoré Skladal sa z trinástich kníh, v ktorých prezentoval problémy s rovnicami, ktoré, hoci nezodpovedali teoretickému charakteru, boli postačujúce na všeobecné riešenie. To pomohlo definovať, čo je algebra, a medzi mnohými jeho príspevkami bola implementácia univerzálnych symbolov na znázornenie neznámej v rámci premenných problému, ktorý sa má vyriešiť.
Pôvod slova „algebra“ pochádza z arabčiny a znamená „reštaurovanie“ alebo „uznanie“. Rovnakým spôsobom má svoj význam v latinčine, ktorý zodpovedá „redukcii“, a hoci nejde o totožné pojmy, znamená to isté.
Ako ďalší nástroj na štúdium tejto vetvy môžete počítať s algebraickou kalkulačkou, čo sú kalkulačky, ktoré dokážu grafovať algebraické funkcie. Týmto spôsobom je možné okrem iných funkcií integrovať, odvodzovať, zjednodušovať výrazy a funkcie grafov, vytvárať matice, riešiť rovnice, hoci tento nástroj je vhodnejší pre vyššiu úroveň.
V rámci algebry je algebraický výraz, ktorý je výsledkom numerického faktora tvoreného najmenej jednou písmenovou premennou; v ktorom je možné diferencovať každý člen jeho číselný koeficient, jeho premenné predstavované písmenami a stupeň výrazu pri sčítaní exponentov doslovných prvkov. To znamená, že pre algebraický výraz p5qr2 bude koeficient 1, jeho doslovná časť bude p5qr2 a jeho stupeň bude 5 + 1 + 2 = 8.
Čo je to algebraický výraz
Je to výraz zložený z celočíselných konštánt, premenných a algebraických operácií. Algebraický výraz je tvorený znakmi alebo symbolmi a je tvorený ďalšími špecifickými prvkami.
V elementárnej algebre aj v aritmetike sú algebraické operácie, ktoré sa používajú na riešenie problémov: sčítanie alebo sčítanie, odčítanie alebo odčítanie, násobenie, delenie, zmocnenie (násobenie viacnásobného faktora krát) a radikácia (inverzná operácia potencovania).
Znaky použité v týchto operáciách sú rovnaké ako znaky používané pri aritmetike na sčítanie (+) a odčítanie (-), ale pri násobení sa znak X (x) nahradí bodom (.) Alebo ich možno reprezentovať znakmi zoskupenia (príklad: cd a (c) (d) sa rovnajú prvku „c“ vynásobenému prvkom „d“ alebo cxd) a v algebraickom rozdelení sa používajú dva body (:).
Používajú sa aj zoskupovacie značky, ako sú zátvorky (), hranaté zátvorky, zátvorky {} a vodorovné pruhy. Používajú sa tiež znaky vzťahu, ktoré sa používajú na označenie toho, že existuje korelácia medzi dvoma údajmi a medzi najpoužívanejšie patria rovné (=), väčšie ako (>) a menšie ako (<).
Vyznačujú sa tiež použitím reálnych čísel (racionálnych, ktoré zahŕňajú kladné, záporné a nulové; a iracionálnych, čo sú tie, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomky) alebo komplexných, ktoré sú súčasťou skutočných čísel a vytvárajú algebraicky uzavreté pole..
Toto sú hlavné algebraické výrazy
Existujú výrazy, ktoré sú súčasťou konceptu toho, čo je algebra, tieto výrazy sú klasifikované do dvoch typov: monomials, čo sú tie, ktoré majú jeden dodatok; a polynómy, ktoré majú dva (dvojčleny), tri (trojčleny) alebo viac súčastí.
Niektoré príklady monomií by boli: 3x, π
Zatiaľ čo niektoré polynómy môžu byť: 4 × 2 + 2x (binomické); 7ab + 3a3 (trinomálny)
Je dôležité spomenúť, že ak je premenná (v tomto prípade „x“) v menovateli alebo v koreňovom adresári, výrazy by neboli monomiálne alebo polynomické.
Čo je lineárna algebra
Táto oblasť matematiky a algebry je oblasťou, ktorá študuje pojmy vektory, matice, systémy lineárnych rovníc, vektorové priestory, lineárne transformácie a matice. Ako je zrejmé, lineárna algebra má rôzne aplikácie.
Jeho užitočnosť sa líši od štúdia priestoru funkcií, ktoré sú definované množinou X (horizontálne) až množinou Y (vertikálne) a sú aplikované na vektorové alebo topologické priestory; diferenciálne rovnice, ktoré súvisia s funkciou (hodnota, ktorá závisí od druhej hodnoty) s jej derivátmi (okamžitá rýchlosť zmeny, vďaka ktorej sa hodnota danej funkcie mení); operačný výskum, pri ktorom sa na prijímanie spoľahlivých rozhodnutí používajú pokročilé analytické metódy; do strojárstva.
Jedna z hlavných osí štúdia lineárnej algebry je vo vektorových priestoroch, ktoré sú tvorené množinou vektorov (úsečky priamky) a množinou skalárov (reálne, konštantné alebo komplexné čísla, ktoré majú veľkosť, ale nie charakteristika smerového vektora).
Hlavné konečné trojrozmerné vektorové priestory sú tri:
- Tieto vektory v R, ktoré predstavujú pravouhlými súradnicami (horizontálna os X a vertikálna os Y).
- Tieto matrice, ktoré sú pravouhlé systémy výrazy (predstavované čísiel alebo symbolov), sú charakterizované počtom riadkov (obvykle predstavovaného písmenom "m"), a počet stĺpcov (označené písmenom "N"), a používajú sa vo vede a technike.
- Vektorový priestor polynómov v tej istej premennej, vzhľadom k tomu, polynómy, ktoré nepresahujú stupeň 2, majú reálne koeficienty, a sú k dispozícii na premennej "x".
Algebraické funkcie
Odkazuje na funkciu, ktorá zodpovedá algebraickému výrazu, a zároveň spĺňa polynomiálnu rovnicu (jej koeficienty môžu byť monomómy alebo polynómy). Sú klasifikované ako: racionálne, iracionálne a absolútne.
- Celé racionálne funkcie sú tie, ktoré sú vyjadrené v:, kde „P“ a „Q“ predstavujú dva polynómy a „x“ premennú, kde „Q“ sa líši od nulového polynómu a premenná „x“ nezruší menovateľa.
- Iracionálne funkcie, v ktorých výraz f (x) predstavuje radikál, ako je tento:. Ak je hodnota „n“ párna, radikál bude definovaný tak, že g (x) je väčšie ako a rovné 0 a musí byť tiež označený znak výsledku, pretože bez neho by nebolo možné hovoriť o funkcii, pretože pre každú hodnotu "x" by boli dva výsledky; ak je index radikálu nepárny, druhý nie je potrebný, pretože výsledok by bol jedinečný.
- Funkcie absolútnej hodnoty, kde absolútnou hodnotou skutočného čísla bude jeho číselná hodnota, okrem znaku. Napríklad 5 bude absolútna hodnota 5 aj -5.
Existujú explicitné algebraické funkcie, v ktorých bude jej premenná „y“ výsledkom kombinácie premennej „x“ obmedzeného počtu prípadov pomocou algebraických operácií (napríklad algebraické sčítanie), ktoré zahŕňajú prevýšenie na potencie a extrakciu koreňov; to by prešlo do y = f (x). Príkladom tohto typu algebraickej funkcie môže byť: y = 3x + 2 alebo čo by bolo rovnaké: (x) = 3x + 2, pretože „y“ je vyjadrené iba v výrazoch „x“.
Na druhej strane existujú implicitné, ktoré sú premenné „y“, ktoré nie sú vyjadrené iba ako funkcia premennej „x“, teda y ≠ f (x). Ako príklad tohto typu funkcie máme: y = 5x3y-2
Príklady algebraických funkcií
Existuje najmenej 30 typov algebraických funkcií, ale medzi najvýznamnejšie patria nasledujúce príklady:
1. Explicitná funkcia: ƒ () = hriech
2. Implicitná funkcia: yx = 9 × 3 + x-5
3. Polynomiálna funkcia:
a) Konštantná: ƒ () = 6
b) Prvý stupeň alebo lineárne: ƒ () = 3 + 4
c) Druhý stupeň alebo kvadratický: ƒ () = 2 + 2 + 1 alebo (+1) 2
d) Tretí stupeň alebo kubický stupeň: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. Racionálna funkcia: ƒ
5. Potenciálna funkcia: ƒ () = - 1
6. Radikálna funkcia: ƒ () =
7. Funkcia po častiach: ƒ () = ak 0 ≤ ≤ 5
Čo je to Baldorova algebra
Keď hovoríme o tom, čo je Baldorova algebra, odkazuje sa na dielo vyvinuté matematikom, učiteľom, spisovateľom a právnikom Aureliom Baldorom (1906-1978), ktoré bolo publikované v roku 1941. V profesorovej publikácii, ktorá sa narodil v Havane na Kube, hodnotí sa 5 790 cvičení, čo zodpovedá priemeru 19 cvičení na test.
Baldor publikoval ďalšie diela, ako napríklad „Rovinná a vesmírna geometria“, „Baldorova trigonometria“ a „Baldorova aritmetika“, ale tá, ktorá mala najväčší vplyv v tejto oblasti, bola „Baldorova algebra“.
Tento materiál je však odporúčanejší pre stredoškolské vzdelanie (napríklad stredné školy), pretože pre vyššie stupne (univerzitné) by ťažko slúžil ako doplnok k ďalším pokročilejším textom podľa tejto úrovne.
Slávna obálka s perzským moslimským matematikom, astronómom a geografom Al-Juarismi (780-846), predstavovala zmätok medzi študentmi, ktorí použili tento slávny matematický nástroj, pretože sa predpokladá, že táto postava je o jeho autor Baldor.
Obsah práce je rozdelený do 39 kapitol a prílohy, ktorá obsahuje tabuľky výpočtov, tabuľku základných foriem rozkladu faktorov a tabuľky koreňov a mocností; a na konci textu sú odpovede na cvičenia.
Na začiatku každej kapitoly je ilustrácia, ktorá odráža historický prehľad konceptu, ktorý bude ďalej rozvinutý a vysvetlený, a uvádza významné historické osobnosti v tejto oblasti podľa historického kontextu, v ktorom sa nachádza odkaz na koncept. Medzi tieto postavy patrí Pythagoras, Archimedes, Platón, Diophantus, Hypatia a Euclid, René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck a Albert Einstein.
Aká bola sláva tejto knihy?
Jeho úspech spočíva v tom, že je to okrem slávneho povinného literárneho diela na latinskoamerických stredných školách aj najviac konzultovanou a úplnou knihou o tejto téme, pretože obsahuje jasné vysvetlenie pojmov a ich algebraických rovníc, ako aj historické údaje o aspektoch študovať, v ktorom sa pracuje s algebraickým jazykom.
Táto kniha je iniciáciou par excellence pre študentov do algebraického sveta, aj keď pre niektorých predstavuje zdroj inšpiratívnych štúdií a pre iných sa obávajú, pravdou je, že je to povinná a ideálna bibliografia pre lepšie pochopenie preberaných tém..
Čo je to Booleova algebra
Anglický matematik George Boole (1815-1864) vytvoril skupinu zákonov a pravidiel na vykonávanie algebraických operácií, takže časť z nich dostala svoje meno. Preto je anglický matematik a logik považovaný za jedného z predchodcov informatiky.
V logických a filozofických problémoch zákony, ktoré Boole vyvinul, umožňovali ich zjednodušenie v dvoch štátoch, ktoré sú skutočným stavom alebo nesprávnym stavom, a k týmto záverom sa dospelo matematickou cestou. Niektoré implementované riadiace systémy, ako sú stýkače a relé, používajú otvorené a zatvorené komponenty, pričom otvorený je ten, ktorý vedie, a zatvorený je ten, ktorý nie. V boolovskej algebre sa to nazýva všetko alebo nič.
Takéto štáty majú numerické zastúpenie 1 a 0, kde 1 predstavuje pravdivé a 0 nepravdivé, čo uľahčuje ich štúdium. Podľa toho všetkého môže byť akýkoľvek komponent ľubovoľného typu alebo nič, čo môže byť reprezentované logickou premennou, čo znamená, že môže prezentovať hodnotu 1 alebo 0, tieto reprezentácie sú známe ako binárny kód.
Booleova algebra umožňuje zjednodušiť logické obvody alebo logické prepínanie v rámci digitálnej elektroniky; aj prostredníctvom nej je možné vykonávať výpočty a logické operácie obvodov expresnejším spôsobom.
V boolovskej algebre existujú tri základné postupy, ktorými sú: logický súčin, brána AND alebo funkcia križovatky; logický súčet, brána ALEBO alebo spojovacia funkcia; a logická negácia, NIE brána alebo funkcia doplnku. Existuje tiež niekoľko pomocných funkcií: logická negácia produktu, brána NAND; negácia logického súčtu, brána NOR; exkluzívny logický súčet, XOR brána; a negácia exkluzívneho logického súčtu, brána XNOR.
V rámci boolovskej algebry existuje niekoľko zákonov, medzi ktoré patria:
- Zrušovací zákon. Tiež sa nazýva zákon o zrušení a hovorí sa v ňom, že pri niektorých cvičeniach po ukončení procesu bude nezávislý termín zrušený, takže (AB) + A = A a (A + B). A = A.
- Zákon o totožnosti. Alebo z identity prvkov 0 a 1 určuje, že premenná, ku ktorej sa pridá nulový prvok alebo 0, sa bude rovnať tej istej premennej A + 0 = A rovnakým spôsobom, ako keby sa premenná vynásobila 1, výsledok je rovnaký A.1 = a.
- Idempotentný zákon. Uvádza, že určitá akcia môže byť vykonaná niekoľkokrát a rovnaký výsledok, takže ak máte kombináciu A + A = A, a ak je to disjunkcia AA = A.
- Komutatívne právo. To znamená, že bez ohľadu na poradie, v ktorom sú premenné, takže A + B = B + A.
- Zákon o dvojitej negácii. O involúcia, uvádza, že v prípade, že odmietnutie je daná ďalšia Denial pozitívny výsledok, tak, že (A,) = A.
- Morganova veta. Hovorí sa, že súčet určitého množstva negovaných premenných sa všeobecne bude rovnať súčinu každej negovanej premennej nezávisle, takže (A + B) '= A'.B' a (AB) '= A' + B '.
- Distribučné právo. Stanovuje, že keď sa spoja niektoré premenné, ktoré sa vynásobia inou externou premennou, bude to rovnaké ako vynásobenie každej premennej zoskupenej podľa externej premennej nasledovne: A (B + C) = AB + AC.
- Absorpčné právo. Hovorí sa v ňom, že ak premenná A znamená premennú B, potom premenná A bude znamenať A a B a A bude „absorbovaná“ B.
- Asociačné právo. V disjunkcii alebo pri spájaní viacerých premenných bude výsledok rovnaký bez ohľadu na ich zoskupenie; takže v pridaní A + (B + C) = (A + B) + C (prvý prvok plus asociácia posledných dvoch, sa rovná asociácii prvých dvoch plus posledných).
